Предлагать или предлогать, как правильно?

Данное слово является глаголом в неопределённой форме, так как он отвечает на вопрос "что делать?". Происходит оно от существительного "предложение". Выполним звуко-буквенный анализ словоформы, чтобы разобраться откуда появляется трудность в написании:

• п - [п];
• р - [р'];
• е - [и];
• д - [д];
• л - [л];
• а - [о];
• г - [г];
• а - [а];
• т - [т'];
• ь.

По схеме видим, что вместо "е" слышится "и", а вместо "а" - "о". Также сделаем морфемный разбор рассматриваемого словообразования: предлагать.

Правописание "е" подтверждается тем, что приставки -ПРИД- в русском языке нет. Вторая буква проверяется по правилам корней -лаг-, -лож-:

• употребляется "а", если в конце корневой части словоформы стоит "г";
• нужно писать "о", если корень заканчивается на "ж".

Таким образом, писать правильно "предлагать". "Предлогать" - ошибочный вариант.

Примеры

Все решили пойти в кафе, которое недавно открылось, поэтому я не стал предлагать сходить в кинотеатр.

Кате не стала предлагать чай своим подругам, так как они пришли к ней в гости после ресторана.

Отрывок из литературы

Тот пучок стихотворений
Вам изволит предлагать;
Сам не знает ударений...
("Утро в редакции", Н. А. Некрасов)