Как писать правильно «по прежнему» или «по-прежнему»?

Допустимо написание обоих вариантов: «по прежнему» и «по-прежнему». При определении правильности написания необходимо обращать внимание на контекст, котором оно употребляется.

Написание данного слова зависит от того, какой частью речи оно является.
"Дети пришли к этому дому по прежнему пути, что им ранее показал дедушка." - В данном случае слово является прилагательным с предлогом.

"Вася по-прежнему плохо учит уроки." - В данном случае слово является наречием.

Вот пример стихотворения с употреблением «по-прежнему»