У чисел от 9 до 3600, которые натуральные и кратные 9, необходимо сосчитать суммы цифр, а далее полученные суммы сложить.
Пусть C₉ – количество чисел с суммой цифр 9,
C₁₈ – количество чисел с суммой цифр 18,
C₂₇ – количество чисел с суммой цифр 27.
Вычислим C₉. Допустим все числа четырехзначные, тогда имеем
9=0009, 18=0018, 27=0027 и так далеее
Рассмотрим сначала числа вида 0m₁m₂m₃, то есть числа, в начале которых стоит 0.
Выясним сколькими способами число 9 может быть
представлено в виде суммы трех целых неотрицательных слагаемых:
9 = m₁ + m₂ + m₃
Прибавим к обеим частям число 3:
12 = (m₁ + 1) + (m₂ + 1) + (m₃ + 1)
Получается, что надо найти количество способов представить число 12 в виде суммы трех натуральных слагаемых. Это количество равно ${С^{2}_{11}}$ (между 1 и 12 на числовой оси имеется 11 отрезочков, разобьем 12 на три ненулевых слагаемых и выберем 2 промежутка).
Аналогично, имеется ${С^{2}_{10}}$ чисел с суммой цифр 9 вида 1m₁m₂m₃, ${С^{2}_{9}}$ чисел 2m₁m₂m₃ и ${С^{2}_{8}}$ чисел 3m₁m₂m₃.
Заметим, что при подсчете количества чисел вида 3m₁m₂m₃ выполняется равенство
6 = m₁ + m₂ + m₃, поэтому числа 3m₁m₂m₃ будут автоматически не больше, чем 3600.
Отсюда имеем ${С_{9} = С^{2}_{11} + С^{2}_{10} + С^{2}_{9} + С^{2}_{8} = 164}$
Далее таким же подсчетом находим, что ${С_{27} = 10}$ и ${С_{18} = 226}$.
Получим ответ, посчитав ${9С_{9} + 18С_{18} + 27С_{27}}$
Ответ: 5814
Пусть C₉ – количество чисел с суммой цифр 9,
C₁₈ – количество чисел с суммой цифр 18,
C₂₇ – количество чисел с суммой цифр 27.
Вычислим C₉. Допустим все числа четырехзначные, тогда имеем
9=0009, 18=0018, 27=0027 и так далеее
Рассмотрим сначала числа вида 0m₁m₂m₃, то есть числа, в начале которых стоит 0.
Выясним сколькими способами число 9 может быть
представлено в виде суммы трех целых неотрицательных слагаемых:
9 = m₁ + m₂ + m₃
Прибавим к обеим частям число 3:
12 = (m₁ + 1) + (m₂ + 1) + (m₃ + 1)
Получается, что надо найти количество способов представить число 12 в виде суммы трех натуральных слагаемых. Это количество равно ${С^{2}_{11}}$ (между 1 и 12 на числовой оси имеется 11 отрезочков, разобьем 12 на три ненулевых слагаемых и выберем 2 промежутка).
Аналогично, имеется ${С^{2}_{10}}$ чисел с суммой цифр 9 вида 1m₁m₂m₃, ${С^{2}_{9}}$ чисел 2m₁m₂m₃ и ${С^{2}_{8}}$ чисел 3m₁m₂m₃.
Заметим, что при подсчете количества чисел вида 3m₁m₂m₃ выполняется равенство
6 = m₁ + m₂ + m₃, поэтому числа 3m₁m₂m₃ будут автоматически не больше, чем 3600.
Отсюда имеем ${С_{9} = С^{2}_{11} + С^{2}_{10} + С^{2}_{9} + С^{2}_{8} = 164}$
Далее таким же подсчетом находим, что ${С_{27} = 10}$ и ${С_{18} = 226}$.
Получим ответ, посчитав ${9С_{9} + 18С_{18} + 27С_{27}}$
Ответ: 5814
- 0 комментариев
- Отметить нарушение!