Правильно пишется "по другому" и "по-другому", смотря какой частью речи оно является.
Если это наречие, то оно отвечает на вопрос "как?" и пишется через дефис: "поступим (как?) по-другому". Приставка ПО- пишется через дефис с теми наречиями, у которых есть суффикс -ОМУ, -ЕМУ, -И (по-новому, по-прежнему, по-грузински).
Если это определительное местоимение в дательном падеже с предлогом, то оно отвечает на вопрос "по какому?" и пишется раздельно: "по (какому?) другому учебнику".
Например,
1. В этой ситуации я поступила бы по-другому.
2. Чтобы сэкономить время, возвращались мы по другому, более короткому пути.