Решить ${x^3-2x^2+x-5=0}$ с точностью e=0.001:

2) Методом Ньютона

f(x) = x³-2x²+x-5

Построим график функции (см. приложенное фото). Как видно из графика, корень уравнения лежит на отрезке [2,3]

Найдем производную функции:
f'(x) = 3x²-4x+1

Найдем вторую производную функции:
f''(x) = 6x-4

Должно соблюдаться условие:
f'(x) * f''(x) > 0

Проверим концы нашего отрезка:
f(2) = 8-8+2-5 = -3
f''(2) = 12-4 = 8

этот корень не подходит

f(3) = 27-18+3-5 = 7
f''(3) = 18-4 = 14

Значит начальное приближение x0 = 3

Воспользуемся формулой Ньютона:
${x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$, когда
${\left|\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\right| < e}$
e = ${x_{n+1} - x_{n}}$

f(3) = 27-18+3-5 = 7
f'(3) = 27-12+1 = 16

Делаем до тех пор пока не достигнем точности 0.001, то есть ${e > \left|\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\right|}$

1) ${f(x_{n+1}) = 3 - 7/16}$ = 2,84782
e = 2,84782 - 3 = -0,15218 не удовлетворяет

2) f(2,84782) = 23,09604-16,22015+2,84782-5 = 4,72371
f'(2,84782) = 24,33023-11,39128+1 = 11,93895
${x_{n+1} = 2,84782 - 4,72371 / 11,93895 = 2,45216}$
e = 2,84782 - 2,45216 = 0,39565 не удовлетворяет

и так далее