Имеет ли квадрат центр симметрии?

Да, имеет.

Всего квадрат имеет четыре оси симметрии. Две из них делят его на 4 равных квадрата меньшего размера. Эти оси пролегают через середины его параллельных сторон. Две другие оси симметрии делят квадрат на четыре прямоугольных равносторонних треугольника. Эти оси проходят через противолежащие углы квадрата.

Середина каждой из описанных выше осей и является центом симметрии квадрата.

Для наглядности этих осей смотри картинку, прикрепленную к этому ответу. Она расположена ниже.