Данное слово - это одушевленное имя существительное (отвечает на вопрос "кто?"), которое образовано от глагола "просить" (прилаг. "опрошенный") приставочно-суффиксальным способом. Значит корневая часть - это "прош".
Примеры предложений:
1) Попрошайка бегал по Соборной площади и кричал слово "дай".
2) Каждый день рядом со станцией метро я вижу много попрошаек.
3) Попрошайка выглядел очень бедно, а на своем теле он носил дырявые обноски.
4) Мне стало очень жаль попрошайку, сидящего на мокром асфальте, поэтому я подал ему двести рублей.