Какой корень слова попрошайка?

Корень слова попрошайка: прош

Полный же морфемный разбор рассматриваемого словообразования будет выглядеть следующим образом:

по/прош/а/й/к/а - приставка/корень/суффикс/суффикс/суффикс/окончание.

Данное слово - это одушевленное имя существительное (отвечает на вопрос "кто?"), которое образовано от глагола "просить" (прилаг. "опрошенный") приставочно-суффиксальным способом. Значит корневая часть - это "прош".

Примеры предложений:

1) Попрошайка бегал по Соборной площади и кричал слово "дай".

2) Каждый день рядом со станцией метро я вижу много попрошаек.

3) Попрошайка выглядел очень бедно, а на своем теле он носил дырявые обноски.

4) Мне стало очень жаль попрошайку, сидящего на мокром асфальте, поэтому я подал ему двести рублей.