Пишется правильно "овражек". "Овражик" - это ошибочный вариант.
Объясняется это следующим образом. Рассматриваемое словообразование является именем существительным, которое образовано от слова "овраг" путем добавления суффикса "ек". Однако при его произношении в суффиксальной части слышится буква "и" вместо "е".
Для определения верного написания по правилам русского языка необходимо слова с суффиксами -ек-/-ик- поставить в форму родительного падежа. Если при этом буква из суффиксальной части выпадает, то необходимо писать "е", а иначе "и".
Применим это правило к анализируемому слову:
Р.п: (не чего?) - овражка (буква выпала, значит надо писать через "е").
Примеры предложений:
1) Косолапый мишка свалился в овражек и долго не мог выбраться из него.
2) Чтобы этот овражек нам не мешал, ты должен засыпать его камнями и песком.
3) Охотник решил спрятаться в овражек, чтобы звери, на которых он охотился, не заметили его.