"Подмышкой" или "под мышкой" как правильно?

Оба варианта допустимы, а использование того или иного из них зависит от лексического значения.

«Подмышкой» - это существительное ("что?") в творительном падеже ("творить чем?"). Пишется слитно, так кслово употреблено в анатомическом значении и обозначает подмышечную впадину руки человека.

Просклоняем существительное, чтобы убедиться в правильности написания:

Им. п.: (Что?) Подмышка;
Род. п.: (Чего?) Подмышки;
Дат. п.: (Чему?) Подмышке;
Вин. п.: (Что?) Подмышку;
Творит. п.: (Чем?) Подмышкой;
Пред. п.: (О чём?) О подмышке.

Раздельно будет писаться, если «под» - это предлог, обозначающий положение какого-то предмета относительно животной или компьютерной мыши.

Следовательно, оба словообразования "подмышкой" и "под мышкой" правильные, поскольку имеют совершенно разный смысл.

Примеры предложений

Подмышкой я невольно прикоснулся к холодной одежде.

Неприятно, когда до тебя дотрагиваются подмышкой.

Я долго искал квитанцию — она лежала под мышкой возле компьютерной клавиатуры.

Игрушки были навалены в кучу (тигрёнок лежал под мышкой) - всё это создавало ощущение плюшевого хаоса. 

Пример из литературы

Она держала книги подмышкой и двигалась к арке ворот.
(А. С. Грин, «Крысолов»)

Под мышкой лежало пару детёнышей, поэтому мы не стали проганять грызуна из дома...
(В. П. Орлов, "Наши мыши")