Одышка или отдышка, как правильно?

Оба варианта слова являются правильными, но они имеют разное значение. Эти слова являются паронимами.

Слово "одышка" - это имя существительное, единственного числа и женского рода, которое пишется без буквы "т". Само словообразование означает болезнь, связанную с затрудненным дыханием (это медицинский термин). 

Примеры предложений:

При осмотре у врача у пожилого человека определили одышку, поэтому его направили на обследование.

Дедушка страдал одышкой, поэтому ему запретили большие нагрузки.

Слово "отдышка" является существительным в единственном числе. Оно означает процесс восстановления дыхания после сильной нагрузки (бега, плавания и так далее). По смыслу это словообразование связано с глаголом "отдышаться".

Примеры предложений:

После того, как я пробежал дистанцию в десять километров, я решил сделать отдышку, чтобы восстановить свое дыхание.

При подъеме на гору Эльбрус я через каждые пятьсот метров делал отдышку, так как подъем был очень тяжелый.

Таким образом, писать правильно "одышка". "Отдышка" - это тоже корректная форма написания, но она означает непродолжительный отдых.

Литературный пример

У гуляки тотчас началась одышка:
Он маленько струсил. Впрочем, от испуга...
("Кузнечик-музыкант", Я. П. Поклонский)