Мест или местов, как правильно?

 Слово "мест" является существительным множественного числа и родительного падежа, которое в начальной форме имеет написание "место" и является существительным среднего рода. В соответствии с правилами русского языка, если в начальной форме существительное среднего рода не имеет окончания, тогда во множественной форме и родительном падеже у него будет нулевое окончание.

Однако, есть слова-исключения (обозначающее национальность человека): грузин, волжанин и другие, которые во множественном числе тоже не имеют окончания.

Таким образом, писать правильно "мест". "Местов" - это некорректный вариант записи словообразования.

Примеры предложений

В автобусе не было свободных мест, поэтому до конечной остановки мне пришлось ехать стоя.

В мире так много красивых мест, в которых я хочу побывать.

На премьере фильма в кинотеатре оказалось очень много свободных мест.

Литературный отрывок

На свете много мест, но самым главным моим путешествием было посещение Китая...
("Главное путешествие", А. П. Резепов)